বিজ্ঞান [পর্ব ৪]

X বিজ্ঞান এবং বিজ্ঞানের ভাষা–গণিত:: ধরা যাক একজন মানুষ কাজ করে প্রথম দিন এক টাকা উপার্জন করে এনেছে (আমরা জানি টাকার পরিমাণটা বেশি নয় কিন্তু যে ব্যাপারটা আলোচনা করতে যাচ্ছি সেখানে টাকার পরিমাণটা গুরুত্বপূর্ণ নয়)। সেই মানুষটা দ্বিতীয় দিনে এনেছে 2 টাকা, তৃতীয় দিনে 3 টাকা। এভাবে চতুর্থ, পঞ্চম, ষষ্ঠ ও সপ্তম দিনে এনেছে যথাক্রম 4, 5, 6 ও 7 টাকা। এখন আমরা যদি প্রশ্ন করি মানুষটি অষ্টম দিনে কত টাকা বাসায় এনেছে তাহলে মোটামুটি সবাই বলবেন আট টাকা। এটি যুক্তিসঙ্গত একটা উত্তর। তার টাকা উপার্জনে একটা প্যাটার্ন আছে, সেই প্যাটার্নটি কী আমাদের বলে দেয়া হয় নি কিন্তু তার উপার্জনের ধারাটি থেকে সেটা আমরা অনুমান করতে পারি। এটাই হচ্ছে বিজ্ঞান, পর্যবেক্ষণ করে পিছনের প্যাটার্নটি অনুমান করার চেষ্টা করা। যথেষ্ট পরিমাণ পর্যবেক্ষণ করা না হলে এই প্যাটার্ন বা নিয়মটি আমরা পুরাপুরি ধরতে পারি না, ভুলত্রুটি হতে পারে। বিজ্ঞান সেটি নিয়ে খুব মাথা ঘামায় না কারণ বিজ্ঞানের একটা সূত্র ঐশ্বরিক বাণীর মতো নয়, প্রয়োজনে সেটা পরিবর্তন করা যেতে পারে–প্রতিনিয়তই তা করা হচ্ছে। আমাদের এই মানুষটির টাকা উপার্জনের বিষয়টি যদি একজন গণিতবিদকে বলে তাকে জিজ্ঞেস করা হতো তাহলে তিনি কিন্তু চট করে উত্তর দিতেন না। সম্ভবত ভুরু কুচকে বলতেন, “এর উত্তর আমি কেমন করে দেব? প্রথম সাতদিনের বিষয়টি আমাকে জানিয়েছ, প্রমাণ করেছ। অন্যগুলো তো কর নি!” আমরা সম্ভবত গলার রগ ফুলিয়ে তর্ক করতে চেষ্টা করব, বলব, “দেখতেই পাচ্ছি যতদিন যাচ্ছে তত টাকা উপার্জন করছে। কাজেই দিনের সংখ্যা যদি হয় n তাহলে টাকা উপার্জনের পরিমাণও হচ্ছে n” গণিতবিদ মৃদু হেসে বলতে পারেন, “কেন টাকা উপার্জনের পরিমাণ তো n + (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7) হতে পারে।” আমরা তখন অবাক হয়ে আবিষ্কার করব এই ফর্মুলাটি প্রথম সাতদিন যথাক্রমে 1 থেকে 7 দিলেও অষ্টম দিনে দেবে 5048, আমার কথা কেউ বিশ্বাস না করলে n এর জন্যে সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করে দেখতে পারে। এটাই হচ্ছে গণিত এবং বিজ্ঞানের পার্থক্য, নূতন নূতন পরীক্ষা-নিরীক্ষা পর্যাবেক্ষণ দিয়ে বিজ্ঞানের পরিবর্তন হতে পারে, গণিতের সেই সুযোগ নেই। আমরা গণিতকে সব সময় পূর্ণাঙ্গভাবে প্রমাণ করতে চাই যেটা একবার প্রমাণিত হয়ে থিওরেম হিসেবে গৃহীত হয়েছে সেটাকে কেউ আর অপ্রমাণিত করতে পারবে না। গণিতের উপরে সে জন্যে আমাদের এত ভরসা আর বিজ্ঞানকে বোঝার জন্যে ব্যাখ্যা করার জন্যে তাই আমরা গণিতকে এত সাহস নিয়ে ব্যবহার করি। গণিতের বেলায় যখনই কিছু প্রমাণ করা হয় সেটি সব সময়েই একটা পূর্ণাঙ্গ এবং নিখুঁত প্রমাণ কিন্তু বিজ্ঞানের সূত্র সে-রকম নয়। সেটি অল্প কিছু পরীক্ষা-নিরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণ থেকে এসেছে, নূতন পর্যবেক্ষণ, নূতন পরীক্ষা-নিরীক্ষা কিংবা নূতন চিন্তাভাবনা থেকে বিজ্ঞানের একটা সূত্র পরিবর্তিত হয়ে যেতে পারে। এটা কি বিজ্ঞানের একটা দুর্বলতা? আসলে সেটি মোটেও দুর্বলতা নয়, সীমাবদ্ধতা নয় বরং সেটাই হচ্ছে এর সৌন্দর্য বা শক্তি। বিজ্ঞানীরা বিশ্বাস করেন প্রকৃতি যে নিয়মে চলছে সেই নিয়মটি সব সময়েই সহজ এবং সুন্দর, বারবার তারা সেটি দেখেছেন এবং তা বিশ্বাস করতে শিখেছেন। তারা সেই নিয়মটি খুঁজে বেড়াচ্ছেন, অল্প কিছু পর্যবেক্ষণ এবং পরীক্ষা-নিরীক্ষা দিয়ে বিশাল একটি অজানা জগৎকে ব্যাখ্যা করে ফেলছেন সেটি যে পৃথিবীর মানব সম্পদায়ের জন্যে কত বড় একটি ব্যাপার সেটি অনুভব করা খুব সহজ নয়। গণিতের সূত্রকে প্রমাণ করার কিছু চমৎকার পদ্ধতি আছে তার একটা হচ্ছে কন্ট্রাডিকশন পদ্ধতি, ইংরেজি কন্ট্রাডিকশন শব্দটির বাংলা অর্থ হচ্ছে অসঙ্গতি এবং এই পদ্ধতিটি আসলেই গণিতের সূত্রকে প্রমাণ করার জন্যে অসঙ্গতিকে ব্যবহার করা হয়। এই পদ্ধতিতে কোনো একটা সূত্রকে প্রমাণ করার জন্যে প্রথমে কিছু একটা ধরে নেয়া হয়; সেখান থেকে যুক্তিতর্ক দিয়ে অগ্রসর হয়ে একটা অসঙ্গতির মাঝে হাজির হওয়া হয়–তখন বলা হয় প্রথমে যেটি ধরে নেয়া হয়েছে। সেটি নিশ্চয়ই ভুল তাই এই অসঙ্গতি! আমার মনে হয় একটি উদাহরণ দিলে ব্যাপারটি বোঝা সহজ হবে। 1 থেকে বড় যে পূর্ণ সংখ্যাকে 1 ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে পুরাপুরি ভাগ করা যায় না সেই সংখ্যাগুলোকে বলে প্রাইম সংখ্যা। 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… এগুলো হচ্ছে প্রাইম সংখ্যার উদাহরণ। 2 হচ্ছে সবচেয়ে ছোট প্রাইম সংখ্যা এবং সেটা একমাত্র জোড় প্রাইম। এখন পর্যন্ত পাওয়া সবচেয়ে বড় প্রাইম সংখ্যাটিতে প্রায় দুই কোটি ডিজিট রয়েছে, ছোট ছোট ছাপাতে লিখলেও পুরো সংখ্যাটি লিখতে প্রায় দশ হাজার পৃষ্ঠা লেগে যাবে। তবে এই প্রাইম সংখ্যার একটা বিশেষ বিশেষত্ব থাকায় এটাকে খুব ছোট করেও লেখা যায়, তাহলে সেটা হবে (2^32,582,657)-1, নিঃসন্দেহে অত্যন্ত সংক্ষিপ্ত একটা রূপ! গণিতবিদ এবং অন্যান্য উৎসাহী মানুষেরা ক্রমাগত নূতন নূতন প্রাইম সংখ্যা বের করার চেষ্টা করে যাচ্ছেন। সংখ্যা যত বড় হয় প্রাইম সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা তত কমে আসে কিন্তু তাই বলে প্রাইম সংখ্যা কখনই কিন্তু শেষ হয়ে যাবে না। ইউক্লিড দুই হাজার বছরেরও আগে এটা প্রমাণ করে গেছেন। কন্ট্রাডিকশন পদ্ধতির এই প্রমাণটি এত সহজ যে, যে কোনো মানুষই এটি বুঝতে পারবে। প্রমাণটি শুরু হয় এভাবে : ধরা যাক আসলে প্রাইম সংখ্যাগুলো অসীম সংখ্যাক নয়–অর্থাৎ, আমরা যদি সবগুলো প্রাইম সংখ্যা বের করতে পারি তাহলে দেখব একটা বিশাল প্রাইম সংখ্যা আছে এবং তার চাইতে বড় কোনো প্রাইম সংখ্যা নেই। সর্ববৃহৎ এবং সর্বশেষ এই প্রাইম সংখ্যাটি যদি Ph হয় তাহলে আমরা একটা মজার কাজ করতে পারি। পৃথিবীর যত প্রাইম সংখ্যা আছে তার সবগুলোকে গুণ করে তার সাথে 1 যোগ করে আমরা একটা নূতন সংখ্যা P তৈরি করতে পারি যেটা হবে: P=P1xP2xP3x…..Pn+1 একটু লক্ষ করলেই আমরা বুঝতে পারব যে এই নূতন সংখ্যাটিকে কিন্তু কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যাবে না। যে কোনো প্রাইম সংখ্যা Pi, P, P; দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে 1। যেসব সংখ্যা প্রাইম নয় সেগুলো দিয়ে ভাগ করার প্রয়োজন নেই কারণ সেই সংখ্যাগুলোও আসলে প্রাইম দিয়েই তৈরি (যেমন 14=2×7, 30=2x3x5, 32=2x2x2x2x2)। যে সংখ্যাকে 1 ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়েই ভাগ দেওয়া যায় না সেটা হচ্ছে প্রাইম সংখ্যা, কাজেই ইউক্লিড দেখিয়ে দিলেন যে যদি আসলেই সর্ববৃহৎ এবং সর্বশেষ একটা প্রাইম সংখ্যা থাকে তাহলে তার থেকেও বড় একটা প্রাইম সংখ্যা তৈরি করা যায়। সরাসরি একটা কন্ট্রাডিকশন বা অসঙ্গতি! এই অসঙ্গতি দূর করার জন্যে বলা যায় যে প্রথমে যে জিনিসটি ধরে আমরা শুরু করেছিলাম সেটিই ভুল অর্থাৎ সর্ববৃহৎ প্রাইম সংখ্যা বলে কিছু নেই। অর্থাৎ প্রাইমের সংখ্যা অসীম। গণিতের আরো এক ধরনের প্রমাণ আছে যাকে বলা হয় ইনডাকশন পদ্ধতি। এই পদ্ধতি কীভাবে কাজ করে সেটা বলার আগে পৃথিবীর একজন সর্বশ্রেষ্ঠ গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডারিক গাউস নিয়ে একটা গল্প বলা যায়। জনশ্রুতি আছে যে, এই গণিতবিদ কথা বলতে শুরু করার আগে গণিত করতে শুরু করেছিলেন। স্কুলে তাকে নিয়ে একটা বড় বিপদ হলো, তাকে যে অংকই করতে দেয়া হয় তিনি চোখের পলকে সেটা করে ফেলেন, শিক্ষকের আর নিশ্বাস ফেলার সময় নেই। একদিন আর কোনো উপায় না দেখে তার শিক্ষক তাকে বললেন খাতায় 1 থেকে 100 পর্যন্ত লিখে সেটা যোগ করে আনতে। তার ধারণা ছিল এটা দিয়ে গাউসকে কিছুক্ষণ ব্যস্ত রাখা যাবে–এতগুলো সংখ্যা খাতায় লিখতেও তো খানিকটা সময় লাগবে! গাউস কিন্তু চোখের পলকে উত্তর লিখে নিয়ে এলেন 5050! শিক্ষকের চক্ষু চড়কগাছ–জিজ্ঞেস করলেন, “তুমি কীভাবে করলে?” গাউস বললেন, “1 থেকে 100 যোগ করার সময় প্রথম 1 এবং শেষ 100 যোগ করলে হয় 101 দ্বিতীয় শুরু সংখ্যা 2 এবং দ্বিতীয় শেষ সংখ্যা 99 যোগ করলেও হয় 101, এ-রকম সবগুলো সংখ্যার জন্যেই সত্যি। তার অর্থ এখানে রয়েছে 50টি 101 অর্থাৎ, 50×101=5050, সেটাই হচ্ছে যোগফল”। শুনে শিক্ষকের নিশ্চয়ই আক্কেল গুড়ুম হয়ে গিয়েছিল! এবারে আমরা সমস্যাটি নিজেদের করে দেখতে পারি। যদি 1 থেকে 100 পর্যন্ত যোগ করে 73 পর্যন্ত যোগ করি তাহলে যোগফল কত? কিংবা 1 থেকে 2083 পর্যন্ত যোগ করলে যোগফল কত? শেষ সংখ্যাটিকে যদি n ধরা হয় তাহলে যোগফল হচ্ছে n(n+1)/2, এটা যে সত্যি সেটা ছোটখাটো সংখ্যার জন্যে পরীক্ষা করে দেখতে পারি কিন্তু এটা যে সব সময়েই সত্যি, বিশাল সংখ্যার জন্যেও সত্যি তার কী প্রমাণ আছে? এটা যে সত্যি সেটা প্রমাণ করার জন্যে তাহলে কী একটা একটা করে সবগুলো সংখ্যার জন্যে প্রমাণ করতে হবে? আসলে সব সংখ্যার জন্যে প্রমাণ করার প্রয়োজন নেই n(n+1)/2 যে যে-কোনো n এর জন্যে সত্যি সেটি প্রমাণ করলেই যথেষ্ট। 1 থেকে n পর্যন্ত যোগ করলে যদি আমরা পাই n(n+1)/2 তাহলে 1 থেকে n+1পর্যন্ত যোগ করলে আমরা নিশ্চয়ই পাব (n+1)(n+2)/2 এবারে একই জিনিস অন্যভাবেও আমরা দেখতে পারি, যেহেতু 1 থেকে n পর্যন্ত যোগ করে n(n+1)/2 পাওয়া গেছে, তার সাথে আরো n+1যোগ করলেই আমরা 1 থেকে n+1 পর্যন্ত যোগফল পেয়ে যাব, সেটা হচ্ছে n(n+1)/2+(n+1)ছোট একটু এলজেবরা করলে দেখানো যায় সেটা হচ্ছে (n+1)(n+2)/2 অর্থাৎ, ঠিক আমাদের ফরমূলা। কাজেই আমাদের ফরমূলাটি যে সত্যি সত্যি ইনডাকশান পদ্ধতি দিয়ে সেটা দেখানো হয়েছে। গণিতের সূত্র প্রমাণ করার এ-রকম পদ্ধতিগুলো আক্ষরিক অর্থে হাজার হাজার বছর থেকে গড়ে উঠেছে কিন্তু 1976 সালে এই পদ্ধতিতে একটা বড় ধাক্কা লেগেছিল, সেই ধাক্কাটি এখনো পুরাপুরি সামলে নেয়া যায় নি। ব্যাপারটি শুরু হয়েছিল 1852 সালে যখন একজন হঠাৎ করে প্রশ্ন করলেন ম্যাপে রং করতে কয়টা রং দরকার? ম্যাপে পাশাপাশি দেশকে ভিন্ন রং দিয়ে আলাদা করা হয়, এবং সেই ম্যাপ যত জটিলই হোক না কেন দেখা গেছে সেটা রং করতে কখনোই চারটার বেশি রংয়ের প্রয়োজন হয় না (3.3নং ছবি) কিন্তু আসলেই কি তার কোনো প্রমাণ আছে? 1976 সালে কেনেথ এপিল এবং ওলফগ্যাং হেকেন নামে দুই আমেরিকান গণিতবিদ প্রমাণ করলেন যে চারটি রং দিয়েই যে কোনো ম্যাপ রং করা সম্ভব এবং তখন সারা পৃথিবীতে ভয়ানক হইচই শুরু হয়ে গেল প্রমাণটির কারণে নয় যে প্রক্রিয়ায় প্রমাণ করেছেন তার কারণে। সমস্যাটির একটা বড় অংশ তারা যুক্তিতর্ক দিয়ে প্রমাণ করেছেন, কিছু অংশ যেটা যুক্তিতর্ক দিয়ে প্রমাণ করা সম্ভব না সেগুলো তারা কম্পিউটার দিয়ে প্রমাণ করে ফেললেন! পৃথিবীর গণিতবিদরা পড়লেন বিপদে। গণিতের সূত্র প্রমাণ করার জন্যে হাজার হাজার বছর থেকে যে পদ্ধতিগুলো দাঁড়িয়েছে তাকে পাশ কাটিয়ে কম্পিউটার ব্যবহার করে প্রমাণ করা–এটা কোন ধরনের পাগলামো? তারা সেটা গ্রহণ করবেন, নাকি করবেন না? গণিতবিদরা অনেক দ্বিধা-দ্বন্দ্বের পর সেটি কিন্তু গ্রহণ করতে বাধ্য হয়েছিলেন। পৃথিবীর ইতিহাসে প্রথমবার একটি গাণিতিক সূত্রের প্রমাণে মানুষের পাশাপাশি একটা যন্ত্রকে স্থান দিতে হয়েছিল। ভবিষ্যতে কি কোনো একটা সময় আসবে যখন এই যন্ত্র মানুষকে পুরাপুরি অপসারণ করবে? সেই উত্তর কেউ জানে না, যদিও প্রচলিত বিশ্বাস এই প্রশ্নের উত্তর হচ্ছে ‘না’!